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分母是385的最简真分数有多少个?怎么快速求个数?

shiwaishuzidu2025年10月12日 01:53:51学习资源2

要确定分母为385的最简真分数有多少个,我们需要理解几个关键概念:最简真分数、分母的因数分解以及欧拉函数的应用,最简真分数是指分子小于分母,且分子与分母互质的分数,问题转化为求在1到384的整数中,与385互质的整数的个数,这恰好就是欧拉函数φ(385)的值。

第一步:对分母385进行质因数分解

欧拉函数的计算依赖于分母的质因数分解,我们分解385:

  • 385 ÷ 5 = 77,所以5是一个质因数。
  • 77 ÷ 7 = 11,所以7和11也是质因数。 385的质因数分解为:385 = 5 × 7 × 11。

第二步:欧拉函数的定义与公式

欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数,对于n的质因数分解n = p₁^k₁ × p₂^k₂ × … × p_m^k_m,欧拉函数的计算公式为: φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × … × (1 - 1/p_m)。

对于385 = 5 × 7 × 11,所有质因数的指数均为1, φ(385) = 385 × (1 - 1/5) × (1 - 1/7) × (1 - 1/11)。

第三步:计算欧拉函数的值

逐步计算:

  1. 1 - 1/5 = 4/5;
  2. 1 - 1/7 = 6/7;
  3. 1 - 1/11 = 10/11。 将这些值代入公式: φ(385) = 385 × (4/5) × (6/7) × (10/11)。

分步计算:

  • 385 × (4/5) = 77 × 4 = 308;
  • 308 × (6/7) = 44 × 6 = 264;
  • 264 × (10/11) = 24 × 10 = 240。 φ(385) = 240。

第四步:验证与解释

这意味着在1到384的整数中,有240个数与385互质,这些数作为分子时,与分母385组成的分数都是最简真分数。

  • 分子1:1/385(1与385互质);
  • 分子2:2/385(2与385互质,因为385的质因数为5、7、11,不包含2);
  • 分子5:5/385(不互质,因为5是385的因数,因此5/385不是最简分数)。

第五步:列举部分例子

为了更直观地理解,我们可以列出一些分子与分母互质的情况: | 分子 | 是否与385互质 | 分数形式 | |------|----------------|----------------| | 1 | 是 | 1/385 | | 2 | 是 | 2/385 | | 3 | 是 | 3/385 | | 4 | 是 | 4/385 | | 5 | 否 | 5/385=1/77 | | 6 | 是 | 6/385 | | ... | ... | ... | | 384 | 是 | 384/385 |

从表中可以看出,只有当分子是5、7、11的倍数时,才不与385互质,我们需要排除这些情况。

第六步:排除非互质的情况

与385不互质的数是指能被5、7或11整除的数,根据容斥原理,这些数的个数为:

  • 被5整除的数:⌊384/5⌋ = 76个;
  • 被7整除的数:⌊384/7⌋ = 54个;
  • 被11整除的数:⌊384/11⌋ = 34个;
  • 同时被5和7整除的数(即被35整除):⌊384/35⌋ = 10个;
  • 同时被5和11整除的数(即被55整除):⌊384/55⌋ = 6个;
  • 同时被7和11整除的数(即被77整除):⌊384/77⌋ = 4个;
  • 同时被5、7和11整除的数(即被385整除):⌊384/385⌋ = 0个。

根据容斥原理,与385不互质的数的个数为: 76 + 54 + 34 - 10 - 6 - 4 + 0 = 144个。 与385互质的数的个数为: 384 - 144 = 240个,这与欧拉函数的计算结果一致。

通过欧拉函数和容斥原理的验证,我们确认分母为385的最简真分数共有240个,这些分数的分子分布在1到384之间,且与385没有共同的质因数(即不被5、7或11整除)。

相关问答FAQs

问题1:为什么欧拉函数可以用来计算最简真分数的个数?
解答:欧拉函数φ(n)的定义就是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数,最简真分数要求分子小于分母且与分母互质,(n)直接给出了以n为分母的最简真分数的个数。φ(385)=240,说明有240个分子与385互质,因此有240个最简真分数。

问题2:如果分母是质数,最简真分数的个数会如何变化?
解答:如果分母是质数p,(p)=p-1,因为1到p-1的所有数都与p互质,分母为7(质数)时,最简真分数有6个(1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7),这与分母为合数385的情况不同,因为合数会有更多的因数需要排除。

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