分母是385的最简真分数有多少个？怎么快速求个数？

要确定分母为385的最简真分数有多少个,我们需要理解几个关键概念：最简真分数、分母的因数分解以及欧拉函数的应用，最简真分数是指分子小于分母，且分子与分母互质的分数，问题转化为求在1到384的整数中，与385互质的整数的个数，这恰好就是欧拉函数φ(385)的值。

第一步：对分母385进行质因数分解

欧拉函数的计算依赖于分母的质因数分解,我们分解385：

• 385 ÷ 5 = 77，所以5是一个质因数。
• 77 ÷ 7 = 11，所以7和11也是质因数。 385的质因数分解为：385 = 5 × 7 × 11。

第二步：欧拉函数的定义与公式

欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，对于n的质因数分解n = p₁^k₁ × p₂^k₂ × … × p_m^k_m，欧拉函数的计算公式为： φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × … × (1 - 1/p_m)。

对于385 = 5 × 7 × 11，所有质因数的指数均为1， φ(385) = 385 × (1 - 1/5) × (1 - 1/7) × (1 - 1/11)。

第三步：计算欧拉函数的值

逐步计算：

1. 1 - 1/5 = 4/5；
2. 1 - 1/7 = 6/7；
3. 1 - 1/11 = 10/11。 将这些值代入公式： φ(385) = 385 × (4/5) × (6/7) × (10/11)。

分步计算：

• 385 × (4/5) = 77 × 4 = 308；
• 308 × (6/7) = 44 × 6 = 264；
• 264 × (10/11) = 24 × 10 = 240。 φ(385) = 240。

第四步：验证与解释

这意味着在1到384的整数中,有240个数与385互质，这些数作为分子时，与分母385组成的分数都是最简真分数。

• 分子1：1/385（1与385互质）；
• 分子2：2/385（2与385互质，因为385的质因数为5、7、11，不包含2）；
• 分子5：5/385（不互质，因为5是385的因数，因此5/385不是最简分数）。

第五步：列举部分例子

为了更直观地理解,我们可以列出一些分子与分母互质的情况： | 分子 | 是否与385互质 | 分数形式 | |------|----------------|----------------| | 1 | 是 | 1/385 | | 2 | 是 | 2/385 | | 3 | 是 | 3/385 | | 4 | 是 | 4/385 | | 5 | 否 | 5/385=1/77 | | 6 | 是 | 6/385 | | ... | ... | ... | | 384 | 是 | 384/385 |

从表中可以看出,只有当分子是5、7、11的倍数时，才不与385互质，我们需要排除这些情况。

第六步：排除非互质的情况

与385不互质的数是指能被5、7或11整除的数，根据容斥原理，这些数的个数为：

• 被5整除的数：⌊384/5⌋ = 76个；
• 被7整除的数：⌊384/7⌋ = 54个；
• 被11整除的数：⌊384/11⌋ = 34个；
• 同时被5和7整除的数（即被35整除）：⌊384/35⌋ = 10个；
• 同时被5和11整除的数（即被55整除）：⌊384/55⌋ = 6个；
• 同时被7和11整除的数（即被77整除）：⌊384/77⌋ = 4个；
• 同时被5、7和11整除的数（即被385整除）：⌊384/385⌋ = 0个。

根据容斥原理,与385不互质的数的个数为： 76 + 54 + 34 - 10 - 6 - 4 + 0 = 144个。 与385互质的数的个数为： 384 - 144 = 240个，这与欧拉函数的计算结果一致。

通过欧拉函数和容斥原理的验证,我们确认分母为385的最简真分数共有240个，这些分数的分子分布在1到384之间，且与385没有共同的质因数（即不被5、7或11整除）。

相关问答FAQs

问题1：为什么欧拉函数可以用来计算最简真分数的个数？
解答：欧拉函数φ(n)的定义就是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，最简真分数要求分子小于分母且与分母互质，(n)直接给出了以n为分母的最简真分数的个数。φ(385)=240，说明有240个分子与385互质，因此有240个最简真分数。

问题2：如果分母是质数，最简真分数的个数会如何变化？
解答：如果分母是质数p，(p)=p-1，因为1到p-1的所有数都与p互质，分母为7（质数）时，最简真分数有6个（1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7），这与分母为合数385的情况不同，因为合数会有更多的因数需要排除。