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sin240度等于多少分数？分母分子怎么求？

shiwaishuzidu2025年10月21日 07:23:12学习资源108

要计算sin240°的值，我们需要借助三角函数的基本性质和单位圆的知识，回顾一下正弦函数的定义：在单位圆中，对于一个给定的角度θ，其正弦值等于该角终边与单位圆交点的y坐标，要确定sin240°的值，我们需要找到240°在单位圆上对应的点的y坐标。

确定240°的位置

240°是一个位于第三象限的角度，为了更直观地理解这一点，我们可以将240°表示为180°加上60°，即240° = 180° + 60°，这意味着240°是从x轴正方向开始，逆时针旋转180°到达第三象限的负x轴，然后再继续旋转60°，240°的终边位于第三象限，且与x轴的负方向成60°角。

参考角的概念

在三角函数的计算中，参考角（Reference Angle）是一个非常有用的工具，参考角是指给定角的终边与x轴所形成的最小正角，其范围在0°到90°之间，对于第三象限的角度θ，其参考角可以通过公式θ - 180°计算，240°的参考角为240° - 180° = 60°。

参考角的重要性在于，三角函数在第三象限的值可以通过参考角的三角函数值来确定，但需要根据象限的性质调整符号，在第三象限，正弦函数和余弦函数的值都是负的,而正切函数的值是正的。

计算参考角的正弦值

既然240°的参考角是60°，我们可以先计算sin60°的值，根据常见的特殊角三角函数值，sin60° = √3/2，这个值可以通过等边三角形或30°-60°-90°三角形的性质推导得出。

确定sin240°的符号

如前所述，240°位于第三象限，而在第三象限中，正弦函数的值为负，sin240°的值应为参考角的正弦值的相反数，即： sin240° = -sin60° = -√3/2

验证结果

为了验证我们的计算是否正确，我们可以使用三角函数的周期性或对称性来进一步确认，240°可以表示为360° - 120°，即240° = 360° - 120°，根据正弦函数的周期性，sin(360° - θ) = -sinθ， sin240° = sin(360° - 120°) = -sin120° 我们需要计算sin120°，120°位于第二象限，其参考角为180° - 120° = 60°，在第二象限，正弦函数的值为正， sin120° = sin60° = √3/2 sin240° = -sin120° = -√3/2 这与我们之前的计算结果一致,验证了我们的答案是正确的。

其他方法：使用角度和公式

我们还可以使用正弦函数的角度和公式来计算sin240°，240°可以表示为180° + 60°， sin(180° + 60°) = sin180°cos60° + cos180°sin60° 已知sin180° = 0，cos180° = -1，cos60° = 1/2，sin60° = √3/2，代入上式： sin(180° + 60°) = 0 (1/2) + (-1) (√3/2) = -√3/2 同样得到sin240° = -√3/2。

分数形式的表示

sin240°的值为-√3/2，这是一个分数形式的表示，分子是-√3，分母是2，这个分数已经是最简形式，因为√3是一个无理数,无法进一步约分。

单位圆上的坐标

为了更直观地理解，我们可以绘制单位圆并标出240°的位置，单位圆的半径为1，中心在原点，240°的终边与单位圆的交点坐标可以通过以下方式计算： x = cos240° = -cos60° = -1/2 y = sin240° = -sin60° = -√3/2 240°对应的点坐标为(-1/2, -√3/2)，其y坐标即为sin240°的值。

特殊角三角函数值表

为了方便查阅,以下是一些常见特殊角的三角函数值表：

角度 (度)	角度 (弧度)	sinθ	cosθ	tanθ
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3
90°	π/2	1	0	无定义
180°	0	-1	0
270°	3π/2	-1	0	无定义
360°	2π	0	1	0

从表中可以看出，sin60° = √3/2，因此sin240° = -sin60° = -√3/2。

通过以上多种方法的计算和验证，我们确定sin240°的值为-√3/2，这个结果不仅可以通过参考角和象限性质得出，还可以通过角度和公式、单位圆坐标等方法得到一致的结果，可以确信sin240° = -√3/2是正确的。

相关问答FAQs

问题1：为什么sin240°是负值？
解答：sin240°的值为负是因为240°位于第三象限，在单位圆中，第三象限的点的y坐标为负，而正弦函数对应于点的y坐标，因此sin240°为负，240°的参考角是60°，sin60° = √3/2，但由于第三象限的正弦值为负，所以sin240° = -√3/2。

问题2：如何快速计算任意角度的正弦值？
解答：快速计算任意角度的正弦值可以按照以下步骤进行：

确定角度所在的象限。
计算参考角（即终边与x轴的最小正角）。
根据参考角的三角函数值和象限的性质确定符号：
- 第一象限：全为正。
- 第二象限：sin为正，cos为负。
- 第三象限：tan为正，sin和cos为负。
- 第四象限：cos为正，sin为负。
使用特殊角的三角函数值或计算器得到结果，对于sin240°，参考角为60°，第三象限sin为负，因此sin240° = -sin60° = -√3/2。