分数复数的模怎么求？公式和步骤是什么？

分数复数的模是复数理论中的一个重要概念，它反映了复数在复平面上的“大小”或“长度”，对于复数 ( z = a + b\mathrm{i} )（( a ) 和 ( b ) 为实数，( \mathrm{i} ) 为虚数单位，满足 ( \mathrm{i}^2 = -1 )），其模定义为 ( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} )，当复数以分数形式表示时，即 ( z = \frac{c + d\mathrm{i}}{e + f\mathrm{i}} )（( c, d, e, f ) 为实数，且 ( e + f\mathrm{i} \neq 0 )），求模的过程需要先对分数进行化简，将其转化为标准的 ( a + b\mathrm{i} ) 形式，再应用模的定义，下面将详细阐述分数复数模的求解步骤、原理及注意事项。

分数复数模的求解步骤

分数复数模的求解核心在于将分母中的虚数去除，即“有理化分母”,具体步骤如下：

1. 写出分数复数的一般形式
   设分数复数为 ( z = \frac{c + d\mathrm{i}}{e + f\mathrm{i}} )，( c, d, e, f \in \mathbb{R} )，且 ( e ) 和 ( f ) 不同时为零（即分母不为零）。

2. 有理化分母
   为了消除分母中的虚数部分，需将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，复数 ( e + f\mathrm{i} ) 的共轭复数为 ( e - f\mathrm{i} )。
   [ z = \frac{(c + d\mathrm{i})(e - f\mathrm{i})}{(e + f\mathrm{i})(e - f\mathrm{i})} ]
   分母部分利用平方差公式 ( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 ) 计算，得到：
   [ (e + f\mathrm{i})(e - f\mathrm{i}) = e^2 - (f\mathrm{i})^2 = e^2 - f^2 \mathrm{i}^2 = e^2 + f^2 \quad (\text{因为 } \mathrm{i}^2 = -1) ]
   分子部分展开并合并同类项：
   [ (c + d\mathrm{i})(e - f\mathrm{i}) = ce - cf\mathrm{i} + de\mathrm{i} - df\mathrm{i}^2 = (ce + df) + (de - cf)\mathrm{i} ]
   化简后的复数为：
   [ z = \frac{ce + df}{e^2 + f^2} + \frac{de - cf}{e^2 + f^2}\mathrm{i} ]
   记 ( a = \frac{ce + df}{e^2 + f^2} )，( b = \frac{de - cf}{e^2 + f^2} )，则 ( z = a + b\mathrm{i} )。

3. 应用模的定义计算
   根据复数模的定义，( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} )，将 ( a ) 和 ( b ) 的表达式代入：
   [ |z| = \sqrt{\left( \frac{ce + df}{e^2 + f^2} \right)^2 + \left( \frac{de - cf}{e^2 + f^2} \right)^2} ]
   提取公分母 ( (e^2 + f^2)^2 )：
   [ |z| = \sqrt{\frac{(ce + df)^2 + (de - cf)^2}{(e^2 + f^2)^2}} = \frac{\sqrt{(ce + df)^2 + (de - cf)^2}}{e^2 + f^2} ]
   展开分子中的平方项：
   [ (ce + df)^2 = c^2e^2 + 2cdef + d^2f^2 ]
   [ (de - cf)^2 = d^2e^2 - 2cdef + c^2f^2 ]
   相加后，中间项 ( 2cdef ) 和 ( -2cdef ) 相消，得到：
   [ (ce + df)^2 + (de - cf)^2 = c^2e^2 + d^2f^2 + d^2e^2 + c^2f^2 = c^2(e^2 + f^2) + d^2(e^2 + f^2) = (c^2 + d^2)(e^2 + f^2) ]
   模的表达式简化为：
   [ |z| = \frac{\sqrt{(c^2 + d^2)(e^2 + f^2)}}{e^2 + f^2} = \frac{\sqrt{c^2 + d^2} \cdot \sqrt{e^2 + f^2}}{e^2 + f^2} = \frac{\sqrt{c^2 + d^2}}{\sqrt{e^2 + f^2}} ]
   最终得到分数复数模的简洁公式：
   [ |z| = \frac{|c + d\mathrm{i}|}{|e + f\mathrm{i}|} = \frac{\sqrt{c^2 + d^2}}{\sqrt{e^2 + f^2}} ]
   这一结果表明,分数复数的模等于分子模与分母模的商。

求解过程中的注意事项

1. 分母不为零的条件
   在分数复数 ( \frac{c + d\mathrm{i}}{e + f\mathrm{i}} ) 中，分母 ( e + f\mathrm{i} \neq 0 )，即 ( e ) 和 ( f ) 不同时为零，否则,复数无定义。

2. 共轭复数的正确应用
   有理化分母时，必须乘以分母的共轭复数 ( e - f\mathrm{i} )，而非 ( -e + f\mathrm{i} ) 或其他形式,否则无法有效消除虚部。

3. 模的运算性质
   上述推导中利用了复数模的运算性质：对于任意两个非零复数 ( z_1 ) 和 ( z_2 )，有 ( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} )，这一性质可以直接用于简化分数复数模的计算,无需每次都进行有理化展开。

示例计算

为了更好地理解分数复数模的求解过程,以下通过具体示例说明。

例1：求复数 ( z = \frac{1 + 2\mathrm{i}}{3 - 4\mathrm{i}} ) 的模。

解法1：直接应用模的运算性质
[ |z| = \frac{|1 + 2\mathrm{i}|}{|3 - 4\mathrm{i}|} = \frac{\sqrt{1^2 + 2^2}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5} ]

解法2：通过有理化分母计算
首先有理化分母：
[ z = \frac{(1 + 2\mathrm{i})(3 + 4\mathrm{i})}{(3 - 4\mathrm{i})(3 + 4\mathrm{i})} = \frac{3 + 4\mathrm{i} + 6\mathrm{i} + 8\mathrm{i}^2}{9 - (4\mathrm{i})^2} = \frac{3 + 10\mathrm{i} - 8}{9 + 16} = \frac{-5 + 10\mathrm{i}}{25} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\mathrm{i} ]
然后计算模：
[ |z| = \sqrt{\left( -\frac{1}{5} \right)^2 + \left( \frac{2}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5} ]
两种方法结果一致,验证了模的运算性质的正确性。

分数复数模的几何意义

从几何角度看，复数 ( z = a + b\mathrm{i} ) 在复平面上对应点 ( (a, b) )，其模 ( |z| ) 表示该点到原点 ( (0, 0) ) 的距离，对于分数复数 ( z = \frac{z_1}{z_2} )，其模 ( |z| = \frac{|z_1|}{|z_2|} ) 可以理解为复数 ( z_1 ) 的“长度”与 ( z_2 ) 的“长度”之比,这一性质在复数的缩放和旋转变换中具有重要意义。

分数复数的模可以通过以下两种方法求解：

1. 有理化分母法：将分数复数化为标准形式 ( a + b\mathrm{i} )，再应用模的定义 ( \sqrt{a^2 + b^2} ) 计算。
2. 模的运算性质法：直接利用 ( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} )，分别计算分子和分母的模后相除。

第二种方法更为简便，但需注意分母不为零的前提条件，通过理解分数复数模的求解过程和几何意义，可以更好地掌握复数运算的本质，为后续学习复变函数、信号处理等领域奠定基础。

相关问答FAQs

问题1：为什么分数复数的模等于分子模与分母模的商？
解答：这一性质源于复数模的运算性质，对于任意两个复数 ( z_1 = c + d\mathrm{i} ) 和 ( z_2 = e + f\mathrm{i} )，有 ( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| ) 和 ( |z_2 \cdot \overline{z_2}| = |z_2|^2 )（( \overline{z_2} ) 为 ( z_2 ) 的共轭复数），分数复数 ( \frac{z_1}{z_2} = z_1 \cdot \frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2} )，其模为 ( |z_1| \cdot \frac{|\overline{z_2}|}{|z_2|^2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} ),这一推导过程严格证明了模的商运算性质。

问题2：在计算分数复数模时，是否必须先有理化分母？
解答：不一定，虽然通过有理化分母可以将分数复数化为标准形式后计算模，但直接利用模的运算性质 ( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} ) 可以更高效地求解，若题目要求将复数表示为标准形式 ( a + b\mathrm{i} )，则必须先进行有理化处理，是否需要有理化分母取决于具体问题的要求，在仅需求模的情况下,推荐直接使用模的运算性质以简化计算。