分数乘除法混合计算题，先算乘还是先算除？

，它不仅考验学生对分数乘除法基本法则的掌握，更锻炼学生的运算顺序、约分技巧及逻辑思维能力，这类题目通常涉及多个分数的乘除混合运算，需要学生按照正确的运算顺序逐步计算，同时注意简化过程以提高计算效率，以下将从基本概念、运算顺序、计算步骤、常见误区及实例解析等方面进行详细阐述，帮助学生全面掌握分数乘除法混合运算的方法。

分数乘除法的基本概念

在进行混合运算之前,首先要明确分数乘法和除法的基本法则，分数乘法的法则是“分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母”，即 ( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} )，计算时，通常可以先约分再相乘，以简化计算过程。( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} ) 可以先约分，2 和 4 约分得 ( \frac{1}{3} )，3 和 3 约分得 1，最终结果为 ( \frac{1}{2} )。

分数除法的法则是“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”，即 ( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} )，倒数是指分子和分母位置互换的数，( \frac{c}{d} ) 的倒数是 ( \frac{d}{c} )，需要注意的是，除数不能为 0，且在转换为乘法后，需按照乘法的法则进行计算。( \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} )。

分数乘除法混合运算的顺序

分数乘除法混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一致,遵循“从左到右”的原则，同时如果有括号，需先计算括号内的内容，在没有括号的情况下，乘除属于同一级运算，应按照从左到右的顺序依次计算。( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} ) 应先计算 ( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} )，再计算 ( \frac{1}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} )。

需要注意的是,有些学生会误认为乘法优先于除法，从而改变运算顺序，导致计算错误，对于 ( \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} )，正确的顺序是先计算除法，再计算乘法：( \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2} )，( \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8} )，如果先计算乘法，则会得到错误的结果。

分数乘除法混合计算的具体步骤

分数乘除法混合计算通常可以分为以下几个步骤：

1. 将除法转换为乘法：遇到除法时，将除数转换为它的倒数，将除法运算转换为乘法运算。( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} ) 转换为 ( \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} )。
2. 统一运算为乘法：将整个式子中的所有除法转换为乘法后，整个式子变为连乘的形式。
3. 约分：在连乘的过程中，观察分子和分母是否有可以约分的数，尽量先约分，简化计算，约分时，可以分子和分母同时除以它们的最大公约数。
4. 计算分子和分母的乘积：将约分后的分子相乘，分母相乘，得到最终的分数结果。
5. 化简分数：如果得到的结果是假分数，可以根据需要转换为带分数；如果分子和分母有公约数，需要进一步约分，化为最简分数。

常见误区及注意事项

在进行分数乘除法混合运算时,学生容易出现以下误区：

1. 运算顺序错误：如前所述，误将乘法优先于除法，或忽略从左到右的顺序，计算 ( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \div \frac{1}{6} ) 时，应先算乘法再算除法，得到 ( \frac{1}{3} \div \frac{1}{6} = 2 )，而不是先算除法。
2. 除法未转换为乘法：直接进行除法运算，而没有将除数转换为倒数，导致计算错误。( \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} ) 应转换为 ( \frac{2}{3} \times 2 )，而不是直接计算 ( \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} )。
3. 约分不彻底：在计算过程中，没有将分子和分母约到最简形式，导致结果不是最简分数。( \frac{4}{6} \times \frac{3}{8} ) 应先约分，4 和 8 约分为 ( \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} )，6 和 3 约分为 ( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} )，而不是直接计算 ( \frac{12}{48} = \frac{1}{4} )。
4. 忽略符号问题：在涉及负分数的运算中，容易忽略负号的处理。( -\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} )，负号需保留。

实例解析

以下通过几个实例来具体展示分数乘除法混合运算的过程。

例1：计算 ( \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} \div \frac{1}{10} ) 步骤：

1. 将除法转换为乘法：( \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} \times \frac{10}{1} )
2. 观察约分：3 和 10 无公约数，4 和 10 有公约数 2，4 ÷ 2 = 2，10 ÷ 2 = 5；2 和 5 无公约数。 约分后：( \frac{3}{2} \times \frac{1}{5} \times \frac{5}{1} )
3. 再次约分：5 和 5 约分为 1，得到 ( \frac{3}{2} \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{1} = \frac{3}{2} )
4. 结果为 ( \frac{3}{2} )（或 1.5）。

例2：计算 ( \frac{5}{6} \div \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} ) 步骤：

1. 将除法转换为乘法：( \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} )
2. 观察约分：5 和分母无公约数；6 和 3 有公约数 3，6 ÷ 3 = 2，3 ÷ 3 = 1；2 和 4 有公约数 2，2 ÷ 2 = 1，4 ÷ 2 = 2。 约分后：( \frac{5}{2} \times \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 1 \times 3}{2 \times 1 \times 2} = \frac{15}{4} )
3. 结果为 ( \frac{15}{4} )（或 3.75）。

例3：计算 ( \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \right) ) 步骤：

1. 先计算括号内的除法：( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} )
2. 再计算乘法：( \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} )
3. 结果为 ( \frac{4}{9} )。

分数乘除法混合运算的技巧

为了提高计算效率,可以掌握以下技巧：

1. 整体约分：在连乘运算中，可以将所有分子和所有分母分别相乘，再进行约分。( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} ) 可以直接约分，2 和 4 约分为 1 和 2，3 和 3 约分为 1，4 和 2 约分为 2 和 1，最终得到 ( \frac{1}{5} )。
2. 先处理除法：将所有除法转换为乘法后，可以按照任意顺序进行约分和乘法运算，灵活选择约分的顺序可以简化计算。
3. 注意单位分数：当除数为 1 或分子为 1 时，计算可以简化。( \frac{2}{3} \div 1 = \frac{2}{3} )，( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} )。

分数乘除法混合运算的关键在于掌握运算顺序、正确转换除法为乘法、灵活运用约分技巧，通过大量的练习，学生可以逐步提高计算的准确性和效率，在计算过程中，要认真审题，注意每一步的细节，避免因粗心导致的错误，可以通过检验结果是否合理来验证计算的准确性，例如通过估算或逆向计算等方式。

相关问答FAQs

问题1：分数乘除法混合运算中，如果遇到多个除法，应该如何处理？
解答：在分数乘除法混合运算中，如果遇到多个除法，需要将所有的除法都转换为乘法，即每个除数都替换为它的倒数，然后将整个式子统一为连乘的形式，再进行约分和计算，计算 ( \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} \div \frac{3}{4} )，应先转换为 ( \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} )，然后约分计算，得到 ( \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 3 \times 4}{2 \times 2 \times 3} = \frac{12}{12} = 1 )。

问题2：在分数乘除法混合运算中，如何避免运算顺序的错误？
解答：为了避免运算顺序的错误，需要牢记“从左到右”的原则，即在没有括号的情况下，按照运算式的顺序依次计算乘除法，如果有括号，则先计算括号内的内容，可以将所有的除法转换为乘法，这样整个式子变为连乘形式，无需担心顺序问题，对于 ( \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \div \frac{1}{2} )，可以先转换为 ( \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times 2 )，然后计算 ( \frac{1 \times 2 \times 2}{3 \times 5 \times 1} = \frac{4}{15} )，这样可以避免顺序错误。