小学五年级分数乘除法

，它建立在学生已经掌握的分数基本性质、约分、通分以及整数乘除法的基础上，这部分知识不仅为后续学习百分数、比例等内容奠定基础，还能培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，下面将从分数乘法、分数除法、混合运算以及实际应用等方面进行详细阐述。

分数乘法

分数乘法包括分数乘整数和一个数乘分数两种情况,它们的计算法则既有联系又有区别。

分数乘整数

分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,求几个相同加数的和的简便运算。$\frac{2}{5} \times 3$ 表示求3个$\frac{2}{5}$是多少，计算时，用分子与整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的要约分。 $$ \frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} $$ 在计算过程中，需要注意先约分再计算可以使数据变小，简化计算步骤。 $$ \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3 \times 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \quad \text{（先约分：} \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 2}{1} = \frac{3}{1} = 3\text{）} $$

一个数乘分数

一个数乘分数包括整数乘分数和分数乘分数,它们的意义都是求这个数的几分之几是多少，这是分数乘法与整数乘法在意义上的重要区别，也是解决实际问题的基础。

• 整数乘分数：计算方法与分数乘整数相同，用整数与分子相乘的积作分子，分母不变。 $$ 6 \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{3} = \frac{12}{3} = 4 $$
• 分数乘分数：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要先约分。 $$ \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $$ 约分时，可以交叉约分，即分子和分母同时除以它们的最大公因数。 $$ \frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \frac{5 \div 5}{6 \div 2} \times \frac{3 \div 3}{10 \div 5} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $$

分数乘法的简便运算

分数乘法同样满足乘法交换律、结合律和分配律，可以利用这些定律进行简便计算。

• 乘法交换律：$a \times b = b \times a$ $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
• 乘法结合律：$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ $\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{4}{5} \times \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{15} = \frac{4}{15}$
• 乘法分配律：$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ $\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \times \frac{1}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60}$

分数除法

分数除法是分数乘法的逆运算,它的意义与整数除法的意义相同，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，分数除法的计算法则是“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”。

分数除以整数

分数除以整数的意义是已知一个数的几倍是多少,求这个数，计算时，等于分数乘这个整数的倒数。 $$ \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} $$ 注意：当整数能被分子整除时，也可以用分子除以这个整数，分母不变。 $$ \frac{4}{5} \div 2 = \frac{4 \div 2}{5} = \frac{2}{5} $$

一个数除以分数

一个数除以分数包括整数除以分数和分数除以分数,它们的计算方法都是乘除数的倒数。

• 整数除以分数： $$ 6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = 9 $$
• 分数除以分数： $$ \frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $$

分数除法的简便运算

分数除法可以转化为乘法后,利用乘法的运算定律进行简便计算。 $$ \frac{7}{8} \div \frac{1}{4} \times \frac{4}{7} = \frac{7}{8} \times \frac{4}{1} \times \frac{4}{7} = \left(\frac{7}{7} \times \frac{4}{4}\right) \times \left(\frac{4}{8} \times 1\right) = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

分数乘除混合运算

分数乘除混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同,从左到右依次计算，有括号的先算括号里面的，计算时，通常将除法转化为乘法，再进行约分和计算。 $$ \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{2 \times 3 \times 2}{3 \times 4 \times 1} = \frac{12}{12} = 1 $$ $$ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \div \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \times 6 = 5 $$

分数乘除法的实际应用

分数乘除法在实际生活中有广泛的应用,如解决“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”等问题。

求一个数的几分之几是多少

这类问题用乘法计算,一本书有120页，小明已经读了全书的$\frac{3}{4}$，读了多少页？ $$ 120 \times \frac{3}{4} = 90 \text{（页）} $$

已知一个数的几分之几是多少，求这个数

这类问题用除法计算,一条绳子用去了$\frac{2}{5}$，正好用了12米，这条绳子原来长多少米？ $$ 12 \div \frac{2}{5} = 12 \times \frac{5}{2} = 30 \text{（米）} $$

分数乘除法应用题的对比

为了更好地理解分数乘除法的应用,可以通过表格对比两种类型的问题：

常见易错点及注意事项

1. 混淆乘除法的意义：分数乘法是求一个数的几分之几，分数除法是已知一个数的几分之几求这个数，要根据问题正确选择运算方法。
2. 忘记将除法转化为乘法：分数除法必须转化为乘法计算，即乘除数的倒数，不要直接相除。
3. 约分不彻底：计算时要先约分，再计算，确保结果是最简分数。
4. 运算顺序错误：混合运算要从左到右依次计算，有括号的先算括号里面的。
5. 单位“1”的判断错误：在应用题中，要正确判断单位“1”是已知还是未知，从而选择乘法或除法。

相关问答FAQs

问题1：为什么分数除法要转化为乘法计算？
解答：分数除法的意义与整数除法相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，根据分数的基本性质，除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。$\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}$ 表示求一个数，使得这个数乘$\frac{2}{3}$等于$\frac{3}{4}$，设这个数为$x$，则$x \times \frac{2}{3} = \frac{3}{4}$，解得$x = \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$，分数除法转化为乘法计算，既符合除法的意义，又简化了计算过程。

问题2：如何判断分数应用题是用乘法还是除法？
解答：判断分数应用题的运算方法，关键在于找准单位“1”和分率对应量。

• 如果单位“1”的量是已知的，求分率对应的量，用乘法。“一根绳子长10米，用去了$\frac{1}{2}$，用去了多少米？”这里单位“1”是10米（已知），求用去的长度，列式为$10 \times \frac{1}{2}$。
• 如果单位“1”的量是未知的，已知分率对应的量，用除法。“用去了$\frac{1}{2}$米，正好用去了全长的$\frac{1}{5}$，绳子原来长多少米？”这里单位“1”是全长（未知），已知用去的$\frac{1}{5}$是$\frac{1}{2}$米，列式为$\frac{1}{2} \div \frac{1}{5}$。
  “知1求几用乘法，知几求1用除法”。