分母不同的分数相乘，该怎么计算才正确？

分母不同的分数相乘是数学运算中常见的基本技能,掌握这一方法不仅有助于解决实际问题，还能为更复杂的代数运算打下基础，本文将详细讲解分母不同的分数相乘的原理、步骤、技巧及注意事项，并通过实例帮助读者深入理解。

分数乘法的基本原理

分数乘法的本质是“求几个分数的积”，其运算规则包括分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，用数学表达式表示为：(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d})（b \neq 0)，(d \neq 0)），这一规则适用于所有分数，无论分母是否相同，当分母不同时，虽然可以直接按照规则计算，但往往需要先进行通分或约分，以简化运算过程。

分母不同的分数相乘的步骤

直接相乘法

直接相乘法是最基础的方法,即按照分数乘法的基本规则，将分子与分子相乘，分母与分母相乘，得到结果后再进行约分，这种方法适用于分母较小或易于计算的情况。

• 步骤：
  1. 分子相乘：(a \times c)；
  2. 分母相乘：(b \times d)；
  3. 得到新分数(\frac{a \times c}{b \times d})；
  4. 约分：将分子和分母同时除以它们的最大公约数（GCD）。
• 示例：计算(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5})。
  • 分子相乘：(2 \times 4 = 8)；
  • 分母相乘：(3 \times 5 = 15)；
  • 得到(\frac{8}{15})；
  • 检查是否可约分：8和15的最大公约数为1，因此结果为(\frac{8}{15})。

先通分后相乘法

当分母较大或不易直接相乘时,可以先通过通分将分数转化为同分母分数，再进行乘法运算，这种方法虽然增加了通分的步骤，但有时能简化后续计算。

• 步骤：
  1. 找到两个分母的最小公倍数（LCM）；
  2. 将每个分数转化为以最小公倍数为分母的等价分数；
  3. 分子相乘,分母不变；
  4. 约分。
• 示例：计算(\frac{3}{4} \times \frac{5}{6})。
  • 分母4和6的最小公倍数为12；
  • 转化分数：(\frac{3}{4} = \frac{9}{12})，(\frac{5}{6} = \frac{10}{12})；
  • 分子相乘：(9 \times 10 = 90)；
  • 分母为12,得到(\frac{90}{12})；
  • 约分：90和12的最大公约数为6，(\frac{90 \div 6}{12 \div 6} = \frac{15}{2})。

先约分后相乘法

在直接相乘前,可以先对分子和分母进行交叉约分，以简化计算，这种方法尤其适用于分子和分母有公因数的情况。

• 步骤：
  1. 观察分子和分母,找出可以约分的公因数；
  2. 交叉约分（第一个分数的分子与第二个分数的分母）；
  3. 将约分后的分子和分母分别相乘；
  4. 得到最终结果。
• 示例：计算(\frac{6}{7} \times \frac{14}{15})。
  • 观察分子6和分母15有公因数3,分子14和分母7有公因数7；
  • 交叉约分：6和15同时除以3，得到2和5；14和7同时除以7，得到2和1；
  • 约分后分数为(\frac{2}{7} \times \frac{2}{1})；
  • 分子相乘：(2 \times 2 = 4)；
  • 分母相乘：(7 \times 1 = 7)；
  • 结果为(\frac{4}{7})。

不同方法的比较与选择

注意事项

1. 分母不能为零：分数的分母永远不能为零，因此在运算前需确认分母不为零。
2. 符号的处理：若分数为负数，需注意符号的传递。(-\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = -\frac{a \times c}{b \times d})。
3. 结果的表示：分数结果需化为最简形式，即分子和分母互质。
4. 混合运算：若分数乘法与其他运算（如加法、减法）混合，需遵循运算顺序，先乘除后加减。

实际应用举例

问题：一个工程队第一天完成工程的(\frac{2}{5})，第二天完成剩余工程的(\frac{3}{4})，两天共完成工程的几分之几？ 解答：

• 第一天完成(\frac{2}{5})，剩余工程为(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5})；
• 第二天完成剩余工程的(\frac{3}{4})，即(\frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{20})；
• 两天共完成(\frac{2}{5} + \frac{9}{20} = \frac{8}{20} + \frac{9}{20} = \frac{17}{20})。

相关问答FAQs

问题1：为什么分母不同的分数可以直接相乘，而不需要先通分？
解答：分数乘法的规则是分子乘分子、分母乘分母，这一规则不依赖于分母是否相同，通分是分数加减法的必要步骤，因为加减法要求单位相同（即分母相同），而乘法本质上是求“部分”的“累积”，无需统一分母。(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3})表示“一半的三分之一”，直接计算为(\frac{1}{6})，无需通分。

问题2：如何快速判断两个分数相乘后是否需要约分？
解答：在计算前，可以先观察分子和分母是否有公因数，计算(\frac{4}{9} \times \frac{3}{8})时，可发现4和8有公因数4，3和9有公因数3，交叉约分后得到(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6})，若分子和分母无明显公因数（如(\frac{2}{3} \times \frac{5}{7})），则直接相乘后检查结果是否可约分即可。