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分数约分计算题怎么算?带答案详解步骤是什么?

shiwaishuzidu2025年09月28日 00:25:55学习资源14

分数约分是数学学习中的基础技能,它要求我们将分数化简为最简形式,即分子和分母互质(最大公约数为1),掌握分数约分不仅能简化计算过程,还能帮助我们更清晰地理解分数的实际意义,本文将详细讲解分数约分的概念、方法、步骤,并通过典型例题带答案的形式,帮助读者巩固这一知识点,分数约分的关键在于找到分子和分母的最大公约数(GCD),然后将分子和分母同时除以这个公约数,以下是具体的计算方法和例题解析。

分数约分的基本概念

分数约分是指将一个分数的分子和分母同时除以它们的公约数,从而得到一个与之相等但形式更简单的分数,分数$\frac{6}{9}$可以约分为$\frac{2}{3}$,因为6和9的最大公约数是3,将分子和分母同时除以3,得到最简分数,约分后的分数保持了原分数的大小不变,但形式更加简洁,便于后续的计算或比较。

分数约分的步骤

分数约分的具体步骤如下:

  1. 找出分子和分母的最大公约数(GCD):可以通过列举因数、质因数分解或辗转相除法等方法找到GCD。
  2. 将分子和分母同时除以GCD:得到的新分数即为最简分数。
  3. 验证结果:检查新分数的分子和分母是否互质,确保约分彻底。

分数约分的计算方法

列举因数法

适用于较小的数字,通过列举分子和分母的所有因数,找出最大的共同因数。 例题1:将$\frac{12}{16}$约分。

  • 解答:
    • 12的因数:1, 2, 3, 4, 6, 12
    • 16的因数:1, 2, 4, 8, 16
    • 最大公约数为4
    • $\frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}$

质因数分解法

将分子和分母分别分解质因数,然后去除相同的质因数。 例题2:将$\frac{30}{45}$约分。

  • 解答:
    • 30 = 2 × 3 × 5
    • 45 = 3 × 3 × 5
    • 公共质因数为3和5,GCD = 3 × 5 = 15
    • $\frac{30}{45} = \frac{30 \div 15}{45 \div 15} = \frac{2}{3}$

辗转相除法(欧几里得算法)

适用于较大的数字,通过反复除法求GCD。 例题3:将$\frac{84}{120}$约分。

  • 解答:
    • 120 ÷ 84 = 1 余 36
    • 84 ÷ 36 = 2 余 12
    • 36 ÷ 12 = 3 余 0
    • GCD为12
    • $\frac{84}{120} = \frac{84 \div 12}{120 \div 12} = \frac{7}{10}$

分数约分的综合例题

以下是几个不同难度的分数约分例题,并附详细解答。

例题4:将$\frac{18}{24}$约分。

  • 解答:
    • 18的因数:1, 2, 3, 6, 9, 18
    • 24的因数:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    • 最大公约数为6
    • $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

例题5:将$\frac{56}{72}$约分。

  • 解答:
    • 56 = 2 × 2 × 2 × 7
    • 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
    • 公共质因数为2 × 2 × 2 = 8
    • $\frac{56}{72} = \frac{56 \div 8}{72 \div 8} = \frac{7}{9}$

例题6:将$\frac{100}{250}$约分。

  • 解答:
    • 100 ÷ 250 = 0 余 100
    • 250 ÷ 100 = 2 余 50
    • 100 ÷ 50 = 2 余 0
    • GCD为50
    • $\frac{100}{250} = \frac{100 \div 50}{250 \div 50} = \frac{2}{5}$

分数约分的常见错误及避免方法

  1. 未找到最大公约数:有时可能会误用较小的公约数,导致约分不彻底。$\frac{12}{16}$若除以2得到$\frac{6}{8}$,仍未最简,需继续除以2得到$\frac{3}{4}$。
  2. 忽略负号:若分子或分母为负数,约分时需保留负号。$\frac{-6}{9}$应约分为$\frac{-2}{3}$。
  3. 混淆约分与通分:约分是简化分数,通分是统一分母,两者目的不同,需注意区分。

分数约分练习题及答案

以下是几个练习题,供读者自行练习后核对答案。

练习题 答案
$\frac{15}{25}$ $\frac{3}{5}$
$\frac{28}{42}$ $\frac{2}{3}$
$\frac{48}{72}$ $\frac{2}{3}$
$\frac{125}{200}$ $\frac{5}{8}$
$\frac{-18}{30}$ $\frac{-3}{5}$

相关问答FAQs

问题1:如何快速判断一个分数是否已经是最简形式?
解答:检查分子和分母是否互质,如果它们的最大公约数是1,则分数已是最简形式。$\frac{7}{11}$中7和11互质,因此无法再约分。

问题2:分数约分时,如果分子或分母为0,如何处理?
解答:分数的分母不能为0,因此若分母为0,分数无意义,若分子为0且分母不为0(如$\frac{0}{5}$),则约分后结果为0。

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