分母是1001的最简真分数有多少个？求具体个数及方法。

要确定分母为1001的最简真分数有多少个,我们需要明确几个关键概念：最简真分数、分母的性质以及如何计算满足条件的分数数量，最简真分数是指分子小于分母且分子与分母互质的分数，问题转化为求1到1000中与1001互质的整数的个数，这在数学上称为欧拉函数φ(1001)的值。

分母1001的质因数分解

为了计算φ(1001)，我们需要先对1001进行质因数分解，通过试除法：

• 1001 ÷ 7 = 143，所以7是1001的一个质因数。
• 143 ÷ 11 = 13，所以11和13也是1001的质因数。 1001的质因数分解为：1001 = 7 × 11 × 13。

欧拉函数的计算公式

欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，对于n的质因数分解n = p₁^k₁ × p₂^k₂ × … × p_m^k_m，欧拉函数的计算公式为： φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × … × (1 - 1/p_m)。 对于1001 = 7 × 11 × 13，其欧拉函数为： φ(1001) = 1001 × (1 - 1/7) × (1 - 1/11) × (1 - 1/13)。

逐步计算

首先计算每个括号内的部分：

• (1 - 1/7) = 6/7
• (1 - 1/11) = 10/11
• (1 - 1/13) = 12/13 然后代入公式： φ(1001) = 1001 × (6/7) × (10/11) × (12/13)。 逐步计算：
• 1001 × (6/7) = 1001 ÷ 7 × 6 = 143 × 6 = 858
• 858 × (10/11) = 858 ÷ 11 × 10 = 78 × 10 = 780
• 780 × (12/13) = 780 ÷ 13 × 12 = 60 × 12 = 720 φ(1001) = 720。

验证计算的正确性

为了确保计算的准确性,我们可以通过另一种方法验证：计算1到1000中不被7、11或13整除的数的个数，这可以通过容斥原理实现：

• 总数：1000
• 被7整除的数的个数：⌊1000/7⌋ = 142
• 被11整除的数的个数：⌊1000/11⌋ = 90
• 被13整除的数的个数：⌊1000/13⌋ = 76
• 同时被7和11整除的数的个数：⌊1000/(7×11)⌋ = ⌊1000/77⌋ = 12
• 同时被7和13整除的数的个数：⌊1000/(7×13)⌋ = ⌊1000/91⌋ = 10
• 同时被11和13整除的数的个数：⌊1000/(11×13)⌋ = ⌊1000/143⌋ = 6
• 同时被7、11和13整除的数的个数：⌊1000/(7×11×13)⌋ = ⌊1000/1001⌋ = 0 根据容斥原理，与1001互质的数的个数为： 1000 - (142 + 90 + 76) + (12 + 10 + 6) - 0 = 1000 - 308 + 28 = 720。 验证结果与欧拉函数的计算一致，(1001) = 720是正确的。

分母为1001的最简真分数的个数等于φ(1001)的值，即720个，这些分数的分子是1到1000中与1001互质的整数，且每个分数都是不可约分的。

相关问答FAQs

问题1：为什么欧拉函数可以用来计算最简真分数的个数？
解答：欧拉函数φ(n)定义为小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，对于分母为n的最简真分数，其分子必须满足1 ≤ 分子 < n且分子与n互质。φ(n)直接给出了满足条件的分子的个数，也就是最简真分数的个数。

问题2：如果分母不是两个质数的乘积，而是更高次幂或更多质因数的乘积，如何计算欧拉函数？
解答：欧拉函数的计算依赖于质因数分解，对于任意正整数n，若其质因数分解为n = p₁^k₁ × p₂^k₂ × … × p_m^k_m，则φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × … × (1 - 1/p_m)，若n = 8 = 2³，则φ(8) = 8 × (1 - 1/2) = 4；若n = 30 = 2 × 3 × 5，则φ(30) = 30 × (1 - 1/2) × (1 - 1/3) × (1 - 1/5) = 8，无论n的质因数分解如何复杂，只要正确分解并应用公式，即可计算出φ(n)。