分母是8的最简真分数有哪些？它们的和是多少？

要计算分母是8的最简真分数的和，首先需要明确几个概念：真分数是指分子小于分母的分数，最简分数是指分子和分母互质（即最大公约数为1）的分数，分母为8的最简真分数是指分子小于8且与8互质的所有分数,我们按照以下步骤进行详细解答。

第一步：列出分母为8的所有真分数

分母为8的真分数，分子可以是1到7的整数，所有可能的真分数为：1/8、2/8、3/8、4/8、5/8、6/8、7/8。

第二步：筛选最简真分数

最简分数要求分子和分母互质，8的质因数分解为2³，因此与8互质的数是不能被2整除的奇数，在1到7的整数中，奇数有1、3、5、7，分母为8的最简真分数为：1/8、3/8、5/8、7/8。

第三步：计算这些分数的和

将上述四个分数相加： [ \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{5}{8} + \frac{7}{8} = \frac{1 + 3 + 5 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2 ] 分母是8的最简真分数的和为2。

第四步：验证结果

为了确保计算的准确性，我们可以通过另一种方式验证，分母为8的最简真分数的分子是1、3、5、7，这些数是一个等差数列，首项为1，末项为7，项数为4，等差数列的和公式为： [ \text{和} = \frac{\text{项数} \times (\text{首项} + \text{末项})}{2} = \frac{4 \times (1 + 7)}{2} = \frac{4 \times 8}{2} = 16 ] 分子的和为16，再除以分母8，得到16/8=2,与之前的结果一致。

第五步：扩展思考

为了更深入地理解这个问题，我们可以探讨分母为其他数时最简真分数的和是否具有类似的规律，分母为6的最简真分数为1/6、5/6，其和为1；分母为9的最简真分数为1/9、2/9、4/9、5/9、7/9、8/9，其和为3，观察这些结果可以发现，分母为n（n>1）的最简真分数的和似乎总是等于φ(n)/2，(n)是欧拉函数，表示小于n且与n互质的正整数的个数，对于n=8，φ(8)=4（因为1、3、5、7与8互质），因此和为4/2=2，与我们的计算结果一致，这一规律表明,分母为n的最简真分数的和与欧拉函数密切相关。

通过上述步骤，我们确定了分母为8的最简真分数共有4个，分别是1/8、3/8、5/8、7/8，它们的和为2，这一结果不仅通过直接计算得到验证，还通过欧拉函数的规律得到了理论支持，这一过程展示了数学中概念定义、筛选、计算和验证的完整逻辑链条,同时也揭示了数论中的一些有趣性质。

相关问答FAQs

问题1：什么是真分数和最简分数？
答：真分数是指分子小于分母的分数，例如3/4、5/8等，其值小于1，最简分数是指分子和分母互质（即最大公约数为1）的分数，例如2/3、3/5等，无法进一步约分，4/8不是最简分数，因为分子和分母的最大公约数为2，可以约分为1/2。

问题2：如何快速判断一个分数是否为最简分数？
答：要判断一个分数是否为最简分数，需要计算分子和分母的最大公约数（GCD），如果GCD为1，则该分数为最简分数；否则，不是，判断6/8是否为最简分数：6和8的GCD为2，因此6/8不是最简分数，可以约分为3/4，可以通过辗转相除法（欧几里得算法）快速计算GCD，例如计算8和12的GCD：12 ÷ 8 = 1余4，8 ÷ 4 = 2余0,因此GCD为4。