分数乘法奥数题怎么解？附答案详解！

，也是奥数题中常见的考点，这类题目不仅考察学生对分数乘法基本法则的掌握，还常常结合实际生活场景，通过复杂的数量关系和逻辑推理来培养学生的数学思维和解题能力，下面将结合典型例题，详细解析分数乘法奥数题的解题思路和方法，并提供完整的答案。

分数乘法的基本法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d})（(b \neq 0)，(d \neq 0)），在奥数题中，分数乘法往往与单位“1”的确定、分数的意义、以及分数应用题的解题技巧（如量率对应、转化单位“1”等）紧密结合，以下通过几类典型例题进行具体分析。

例题1：单位“1”已知的分数乘法应用题
某工厂计划生产一批零件，第一天完成了计划的(\frac{2}{5})，第二天完成了剩下的(\frac{1}{3})，已知第二天生产了80个零件，问这批零件原计划生产多少个？
解析：此题中“计划的产量”是单位“1”，第一天完成(\frac{2}{5})后，剩余量为(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5})，第二天完成的是剩余量的(\frac{1}{3})，即(\frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5})，第二天生产的80个对应的是计划的(\frac{1}{5})，所以计划产量为(80 \div \frac{1}{5} = 400)个。
答案：原计划生产400个零件。

例题2：单位“1”未知的分数乘法与除法结合题
一本书，第一天读了全书的(\frac{1}{4})，第二天读了余下的(\frac{2}{3})，还剩下30页未读，问这本书共有多少页？
解析：设全书为单位“1”，第一天读完后，剩余量为(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4})，第二天读了余下的(\frac{2}{3})，即(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2})，此时剩余量为(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4})，根据题意，剩余的30页对应全书的(\frac{1}{4})，因此全书共有(30 \div \frac{1}{4} = 120)页。
答案：这本书共有120页。

例题3：连续分数乘法的复杂应用题
修一条路，甲队单独修需要20天完成，乙队单独修需要30天完成，两队先合修5天，剩下的由甲队单独修，还需要多少天完成？
解析：将总量设为单位“1”，甲队的工作效率为(\frac{1}{20})，乙队的工作效率为(\frac{1}{30})，两队合修5天的工作量为((\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) \times 5 = \frac{5}{60} \times 5 = \frac{25}{60} = \frac{5}{12})，剩余的工作量为(1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12})，甲队单独完成剩余工作需要的时间为(\frac{7}{12} \div \frac{1}{20} = \frac{7}{12} \times 20 = \frac{140}{12} = \frac{35}{3})天，即(11\frac{2}{3})天。
答案：还需要(\frac{35}{3})天完成。

例题4：分数乘法与比例结合的奥数题
甲、乙、丙三人共有图书120本，甲的本数是乙的(\frac{3}{4})，丙的本数是乙的(\frac{1}{2})，问三人各有多少本图书？
解析：设乙的本数为单位“1”，则甲的本数为(\frac{3}{4})，丙的本数为(\frac{1}{2})，三人的总份数为(1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{9}{4})，乙的本数为(120 \div \frac{9}{4} = 120 \times \frac{4}{9} = \frac{480}{9} = \frac{160}{3})本，甲的本数为(\frac{160}{3} \times \frac{3}{4} = 40)本，丙的本数为(\frac{160}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{80}{3})本。
答案：甲有40本，乙有(\frac{160}{3})本，丙有(\frac{80}{3})本。

例题5：分数乘法在生活中的应用
一件商品先提价(\frac{1}{10})，再降价(\frac{1}{10})，现价与原价相比是涨了还是跌了？变化幅度是多少？
解析：设原价为单位“1”，提价后的价格为(1 \times (1 + \frac{1}{10}) = \frac{11}{10})，降价后的价格为(\frac{11}{10} \times (1 - \frac{1}{10}) = \frac{11}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{99}{100})，现价为原价的(\frac{99}{100})，因此价格下跌，下跌幅度为(1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100})，即1%。
答案：现价比原价下跌了1%。

以下是以上例题的答案总结表： 类型 | 关键步骤 | 答案 | |----------|----------|------| | 单位“1”已知的应用题 | 确定单位“1”，计算剩余量对应的分数 | 原计划生产400个 | | 单位“1”未知的除法结合题 | 设单位“1”，表示剩余量并求解总量 | 全书共有120页 | | 连续分数乘法的工程问题 | 计算合作工作量，求剩余工作量及时间 | 还需要(\frac{35}{3})天 | | 分数乘法与比例结合题 | 设单位“1”，按比例分配总量 | 甲40本，乙(\frac{160}{3})本，丙(\frac{80}{3})本 | | 生活中的分数乘法 | 分步计算价格变化并比较 | 下跌1% |

通过以上例题可以看出,分数乘法奥数题的核心在于找准单位“1”，明确分数与实际数量的对应关系，并通过合理的转化和计算解决问题，学生在解题时应注意审题，分析题目中的数量关系，灵活运用分数乘法的法则和技巧。

相关问答FAQs

问题1：如何快速判断分数乘法应用题中的单位“1”？
解答：单位“1”通常是题目中作为标准的量，常出现在“是”“占”“比”等关键词后面的量。“甲是乙的(\frac{1}{2})”中，乙是单位“1”；“计划完成了(\frac{3}{4})”中，计划量是单位“1”，如果题目中没有直接给出单位“1”，则需要通过剩余量或已知量反推单位“1”的量。

问题2：分数乘法奥数题中，如何处理“连续几分之几”的问题？
解答：对于“连续几分之几”的问题，应分步计算，每一步都明确当前的单位“1”。“第一天用掉(\frac{1}{3})，第二天用掉剩下的(\frac{1}{2})”，第一天的单位“1”是总量，第二天的单位“1”是第一天用掉后的剩余量，通过逐步转化，避免将不同步骤的分数直接相加或相乘。