有限循环小数化分数的规律是什么？怎么快速转换？

有限循环小数化分数是将无限循环小数转化为分数形式的过程，这一方法基于数学中的极限理论和等比数列求和公式，循环小数分为纯循环小数（如0.333…）和混循环小数（如0.1666…），其化分数的步骤略有不同,以下是详细的推导过程和实例说明。

纯循环小数化分数

纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数，例如0.(\dot{3})（表示0.333…）或0.(\dot{1}\dot{4})（表示0.141414…）,其化分数的步骤如下：

1. 设变量：设循环小数为( x )。
2. 乘以适当的10的幂：若循环节有( n )位，则将( x )乘以( 10^n )，使循环部分对齐，对于0.(\dot{3})，乘以10得( 10x = 3.333\ldots )；对于0.(\dot{1}\dot{4})，乘以100得( 100x = 14.1414\ldots )。
3. 相减消去循环部分：用乘以10的幂后的式子减去原式，得到一个关于( x )的简单方程。
   • 对于0.(\dot{3})：( 10x - x = 3.333\ldots - 0.333\ldots )，即( 9x = 3 )，解得( x = \frac{1}{3} )。
   • 对于0.(\dot{1}\dot{4})：( 100x - x = 14.1414\ldots - 0.1414\ldots )，即( 99x = 14 )，解得( x = \frac{14}{99} )。
4. 约分：将得到的分数化简为最简形式。

公式总结：纯循环小数化分数的通用公式为：
[ x = \frac{\text{循环节组成的数}}{\underbrace{99\ldots9}_{n \text{个}9}} ]
n )为循环节的位数。

混循环小数化分数

混循环小数是指在小数点后非循环部分和循环部分同时存在的小数，例如0.1666…（记作0.1(\dot{6})）或0.8121212…（记作0.8(\dot{1}\dot{2})）,其化分数的步骤如下：

1. 设变量：设混循环小数为( x )。
2. 乘以适当的10的幂：将( x )乘以10的幂，使非循环部分移到整数部分，对于0.1(\dot{6})，乘以10得( 10x = 1.666\ldots )。
3. 再乘以10的幂对齐循环部分：若循环节有( n )位，则将上一步的结果乘以( 10^n )，对于0.1(\dot{6})，循环节为1位，乘以10得( 100x = 16.666\ldots )。
4. 相减消去循环部分：用第二次乘以10的幂后的式子减去第一次乘以10的幂后的式子。
   • 对于0.1(\dot{6})：( 100x - 10x = 16.666\ldots - 1.666\ldots )，即( 90x = 15 )，解得( x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} )。
   • 对于0.8(\dot{1}\dot{2})：非循环部分1位，循环节2位，先乘以10得( 10x = 8.121212\ldots )，再乘以100得( 1000x = 812.121212\ldots )，相减得( 990x = 804 )，解得( x = \frac{804}{990} = \frac{134}{165} )。
5. 约分：将得到的分数化简为最简形式。

公式总结：混循环小数化分数的通用公式为：
[ x = \frac{\text{非循环部分与循环节组成的数} - \text{非循环部分组成的数}}{\underbrace{99\ldots9}{n \text{个}9}\underbrace{00\ldots0}{m \text{个}0}} ]
n )为循环节的位数，( m )为非循环部分的位数。

实例验证

以下是几个典型例子的化分数过程：

数学原理

循环小数化分数的原理基于等比数列求和，0.(\dot{3})可以表示为： [ 0.333\ldots = 3 \times 10^{-1} + 3 \times 10^{-2} + 3 \times 10^{-3} + \cdots ] 这是一个首项( a = \frac{3}{10} )、公比( r = \frac{1}{10} )的等比数列，其和为： [ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{3} ] 这与前述方法的结果一致,验证了其正确性。

相关问答FAQs

问题1：为什么纯循环小数化分数时，分母是9的重复？
解答：纯循环小数的循环节从第一位开始，因此乘以10的幂后，循环部分完全对齐，0.(\dot{abc})（( abc )为循环节）乘以1000后得到( abc.abc\ldots )，减去原式后得到( 999x = abc )，因此分母为999（即3个9），循环节有( n )位时，分母即为( n )个9的重复。

问题2：混循环小数化分数时，为什么分母是9的后面加0？
解答：混循环小数中，非循环部分的存在需要通过乘以10的幂将其移到整数部分，0.1(\dot{6})中，非循环部分“1”有1位，因此第一次乘以10；循环节“6”有1位，第二次乘以10，相减后分母为( 10 \times 10 - 10 = 90 )，即一个9后面加一个0，非循环部分有( m )位时，分母为( n )个9后面加( m )个0。