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一次函数教案

shiwaishuzidu2025年07月10日 04:15:00学习资源165

教学目标

知识与技能目标
- 理解一次函数的概念,能准确判断一个函数是否为一次函数。
- 掌握一次函数的一般形式(y = kx + b)（(k\neq0)，(b)为常数），能根据给定条件确定一次函数的解析式。
- 会画一次函数的图象,能根据图象理解一次函数的性质，包括增减性、与坐标轴的交点等。
过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析,抽象出一次函数的概念，培养学生的抽象思维能力和数学建模意识。
- 经历画一次函数图象的过程,探索一次函数的性质，提高学生的观察、分析和归纳能力。
- 在解决实际问题的过程中,体会数形结合思想的应用，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
- 通过实际问题的引入,让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在小组合作探究过程中,培养学生的合作交流意识和团队精神，让学生体验成功的喜悦，增强学生学习数学的自信心。

教学重难点

教学重点
- 一次函数的概念和一般形式。
- 一次函数图象的画法和性质。
- 根据实际问题建立一次函数模型并解决问题。
教学难点
- 对一次函数概念中(k\neq0)的理解。
- 一次函数性质的探索和应用,特别是根据函数图象和性质解决实际问题。

教学方法

讲授法、讨论法、探究法、练习法相结合。

教学过程

（一）导入新课（5分钟）

展示一些生活中的实际问题情境,如：
- 汽车以每小时60千米的速度匀速行驶,行驶时间为(t)小时，行驶路程为(s)千米，写出(s)与(t)的函数关系式。
- 某商店销售一种商品,单价为10元，销售量为(x)件，销售额为(y)元，写出(y)与(x)的函数关系式。
引导学生观察这些函数关系式的特点,思考它们有什么共同之处，从而引出本节课的主题——一次函数。

（二）讲授新课（25分钟）

一次函数的概念

（1）让学生观察上述实际问题中得到的函数关系式：

(s = 60t)
(y = 10x) （2）引导学生分析这两个函数关系式的结构特点，发现它们都是形如(y = kx)（(k\neq0)）的形式，k)是常数。（3）进一步举例，如(y = -2x)，(y = 3x)等，让学生归纳这类函数的一般形式，从而得出一次函数的概念：一般地，形如(y = kx + b)（(k\neq0)，(b)为常数）的函数，叫做一次函数，当(b = 0)时，(y = kx)也叫做正比例函数，它是一次函数的特殊情况。（4）强调一次函数概念中的关键点：
(k\neq0)，这是一次函数的一个重要特征，k = 0)，那么函数就变成(y = b)，这是一个常数函数，而不是一次函数。
(b)可以是任意常数，它决定了一次函数图象在(y)轴上的位置。

一次函数的图象

（1）回顾正比例函数(y = kx)的图象的画法，通过列表、描点、连线的方法画出(y = 2x)和(y = -2x)的图象。（2）引导学生观察正比例函数图象的特点，如都是经过原点的直线等。（3）讲解一次函数(y = kx + b)的图象的画法，以(y = 2x + 1)为例，通过列表、描点、连线画出它的图象，引导学生与(y = 2x)的图象进行对比，发现两者的关系：一次函数(y = kx + b)的图象可以看作是由正比例函数(y = kx)的图象向上（当(b>0)时）或向下（当(b<0)时）平移(|b|)个单位长度得到的。（4）让学生自己动手画出几个一次函数的图象，如(y = -x + 3)，(y = 3x 2)等，进一步熟悉一次函数图象的画法和特点。

一次函数的性质

（1）引导学生观察所画的一次函数图象，思考一次函数的性质，从图象的上升或下降趋势、与(y)轴的交点位置等方面进行分析。（2）归纳一次函数的性质：

当(k>0)时，(y)随(x)的增大而增大，函数图象从左到右上升；当(k<0)时，(y)随(x)的增大而减小，函数图象从左到右下降。
一次函数(y = kx + b)的图象与(y)轴的交点坐标为((0,b))。（3）通过具体的函数解析式，如(y = 2x + 3)，(y = -x 1)等，让学生根据一次函数的性质分析函数图象的走向和与(y)轴的交点位置，加深对性质的理解和应用。

（三）课堂练习（15分钟）

给出以下函数,判断哪些是一次函数：
- (y = 3x 5)
- (y = x^{2}+ 2x)
- (y = \frac{1}{x}+ 1)
- (y = -2x)
已知一次函数(y = kx + 3)的图象经过点((2,5))，求(k)的值，并画出这个函数的图象。
对于一次函数(y = -2x + 1)，根据图象回答下列问题：
- 函数图象经过哪几个象限？
- 当(x)增大时，(y)如何变化？
- 函数图象与(x)轴、(y)轴的交点坐标分别是多少？
某出租车公司收费标准如下：起步价5元（行驶距离不超过3千米），超过3千米后，每千米加收1.2元，设行驶里程为(x)千米（(x>3)），费用为(y)元，写出(y)与(x)之间的函数关系式，并判断这个函数是否是一次函数，如果是，求出当行驶里程为10千米时的费用。

（四）课堂小结（5分钟）

引导学生回顾本节课所学内容,包括一次函数的概念、一般形式、图象的画法和性质等。
强调一次函数是一种重要的函数模型,在实际生活中有广泛的应用，鼓励学生在今后的学习和生活中注意观察和运用一次函数的知识解决实际问题。

（五）布置作业（5分钟）

课本习题相关题目。
拓展作业：调查生活中有哪些实际问题可以用一次函数来描述，并写出相应的函数关系式和简要的分析说明。

相关问题与解答

问题1：为什么一次函数中(k\neq0)？

解答：一次函数的一般形式为(y = kx + b)（(k\neq0)，(b)为常数），k = 0)，那么函数就变为(y = b)，这是一个常数函数，它的图象是一条平行于(x)轴的直线（当(b eq0)时）或与(x)轴重合（当(b = 0)时），在这种情况下，无论(x)取何值，(y)的值始终不变，不满足一次函数中(y)随(x)的变化而变化的特征，所以为了保证函数具有一次函数的特性，即(y)与(x)之间存在线性变化关系，规定(k eq0)。

问题2：如何快速判断一次函数图象经过哪些象限？

解答：根据一次函数的性质来判断，对于一次函数(y = kx + b)：

当(k>0)，(b>0)时，函数图象经过第一、二、三象限，因为(k>0)，(y)随(x)的增大而增大，图象从左到右上升；又因为(b>0)，图象与(y)轴的交点在正半轴上，所以图象从第三象限穿过原点附近进入第一象限，再延伸到第二象限。
当(k>0)，(b<0)时，函数图象经过第一、三、四象限，由于(k>0)，图象上升；而(b<0)，图象与(y)轴的交点在负半轴上，所以图象从第四象限穿过原点附近进入第一象限，再延伸到第三象限。
当(k<0)，(b>0)时，函数图象经过第一、二、四象限，因为(k<0)，(y)随(x)的增大而减小，图象从左到右下降；又因为(b>0)，图象与(y)轴的交点在正半轴上，所以图象从第二象限穿过原点附近进入第四象限，再延伸到第一象限。
当(k<0)，(b<0)时，函数图象经过第二、三、四象限，由于(k<0)，图象下降；而(b<0)，图象与(y)轴的交点在负半轴上，所以图象从第三象限穿过原点附近进入第四象限，再延伸到