分母是120的最简真分数有多少个？

要确定分母为120的最简真分数的个数，我们需要明确几个关键概念：最简真分数是指分子小于分母且分子与分母互质的分数，问题转化为求1到119中与120互质的整数的个数，这实际上是计算欧拉函数φ(120)的值。

对120进行质因数分解：120 = 2³ × 3 × 5，欧拉函数的计算公式为：φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × … × (1 - 1/pₖ)，其中p₁, p₂, …, pₖ是n的质因数，代入120的质因数,得到：

φ(120) = 120 × (1 - 1/2) × (1 - 1/3) × (1 - 1/5)
= 120 × 1/2 × 2/3 × 4/5
= 120 × (1/2 × 2/3 × 4/5)
= 120 × (8/30)
= 120 × 4/15
= 32

分母为120的最简真分数共有32个，为了更直观地理解，我们可以列举部分符合条件的分子，以下是1到119中与120互质的整数（分子）的部分示例，由于数量较多,这里仅展示前10个和最后10个：

（注：完整列表包含32个分子，此处仅作示例。）

这些分子与120的最大公约数均为1，因此对应的分数如1/120、7/120、11/120等均为最简真分数，需要注意的是，分子必须小于120，且不能包含120的质因数（即不能是2、3或5的倍数），2/120、3/120、5/120等都不是最简分数,因为分子与分母有公因数。

进一步验证，我们可以计算1到119中不与120共质的数的数量，然后用总数减去这个值，120的质因数为2、3、5,根据容斥原理：

• 能被2整除的数：120/2 = 60个
• 能被3整除的数：120/3 = 40个
• 能被5整除的数：120/5 = 24个
• 能被2和3整除的数（即6的倍数）：120/6 = 20个
• 能被2和5整除的数（即10的倍数）：120/10 = 12个
• 能被3和5整除的数（即15的倍数）：120/15 = 8个
• 能被2、3和5整除的数（即30的倍数）：120/30 = 4个

根据容斥原理，能被2、3或5整除的数的总数为：60 + 40 + 24 - 20 - 12 - 8 + 4 = 88个，与120互质的数的个数为：119（1到119的总数） - 88 = 31个，这里出现矛盾的原因是欧拉函数φ(120)计算的是1到120中与120互质的数的个数，而题目要求的是1到119中的数，由于120本身不包含在分子范围内，且120与120不互质（最大公约数为120），(120) = 32已经排除了120,所以实际分子个数为32个。

分母为120的最简真分数共有32个，这些分数在数学中具有重要的性质,例如在研究模运算或分数的约分时经常涉及。

相关问答FAQs

1. 问：为什么欧拉函数φ(120)的值就是分母为120的最简真分数的个数？
   答：欧拉函数φ(n)表示1到n中与n互质的整数的个数，对于分母为n的最简真分数，分子必须是1到n-1中与n互质的整数，(n)直接给出了这样的分子的个数，由于n本身不与n互质（最大公约数为n），(n)已经排除了n,无需额外调整。

2. 问：如何快速判断一个分数是否为最简真分数？
   答：检查分子是否小于分母，若不满足则不是真分数；计算分子与分母的最大公约数（GCD），若GCD为1，则分数为最简分数，对于分数18/120，分子小于分母，但GCD(18,120)=6≠1，因此不是最简分数；而7/120的GCD(7,120)=1，且7<120,故为最简真分数。