分数除以分数的计算题

分数除以分数的计算题是数学学习中常见的类型,掌握其计算方法对于解决复杂分数问题至关重要，分数除法的核心是将除法转化为乘法，即“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”，这一运算法则同样适用于分数除以分数的情况，下面将详细解析分数除以分数的计算步骤、注意事项及典型例题，帮助读者全面理解并掌握这一知识点。

分数除以分数的计算步骤

分数除以分数的计算遵循“一变二倒三乘”的原则，具体步骤如下：

1. 变号：将除法算式中的除号变为乘号。
2. 颠倒：将除数（第二个分数）的分子和分母位置颠倒，即求其倒数。
3. 相乘：用被除数（第一个分数）与颠倒后的分数相乘，计算结果需约分（化为最简分数）。

计算 (\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}) 的过程为：
(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8})。
若结果为假分数，可根据需要化为带分数（如 (\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8})）。

注意事项

1. 倒数的正确性：只有除数需要颠倒，被除数保持不变。(\frac{5}{6} \div \frac{1}{3}) 应转化为 (\frac{5}{6} \times \frac{3}{1})，而非颠倒被除数。
2. 约分的时机：可在相乘前先约分，简化计算。(\frac{2}{3} \div \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{4})，3 和 9 可约分（9÷3=3），4 和 2 可约分（2÷2=1，4÷2=2），得到 (\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2})。
3. 符号处理：若分数含负号，需根据“同号得正，异号得负”确定结果符号。(-\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = -\frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = -\frac{21}{10})。

典型例题解析

例题1：计算 (\frac{7}{8} \div \frac{5}{6})。
解析：
(\frac{7}{8} \div \frac{5}{6} = \frac{7}{8} \times \frac{6}{5} = \frac{7 \times 6}{8 \times 5})。
先约分：6 和 8 可同时除以 2，得到 (\frac{7 \times 3}{4 \times 5} = \frac{21}{20})。
最终结果为假分数，可保留或化为带分数 (1\frac{1}{20})。

例题2：计算 (\frac{3}{10} \div \left(-\frac{9}{15}\right))。
解析：
先处理符号：异号结果为负。
(\frac{3}{10} \div \left(-\frac{9}{15}\right) = -\frac{3}{10} \times \frac{15}{9})。
约分：3 和 9 可约分（3÷3=1，9÷3=3），15 和 10 可约分（15÷5=3，10÷5=2），得到 (-\frac{1 \times 3}{2 \times 3} = -\frac{3}{6})。
进一步约分：3 和 6 可约分（3÷3=1，6÷3=2），最终结果为 (-\frac{1}{2})。

分数除法与乘法的关系

分数除法本质是乘法的逆运算,通过倒数将除法转化为乘法，这一方法不仅适用于分数，也适用于整数和小数，整数 4 除以分数 (\frac{1}{2})，可转化为 (4 \times \frac{2}{1} = 8)，理解这一转化关系，有助于灵活解决各类分数运算问题。

常见错误及避免方法

1. 颠倒错误：误将被除数和除数同时颠倒。(\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}) 错误计算为 (\frac{3}{2} \times \frac{5}{4})。
   避免方法：牢记“仅颠倒除数”，可通过口诀“除号变乘号，除数要颠倒”强化记忆。
2. 未约分：计算结果未化为最简分数。(\frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{18})，未约分至 (\frac{2}{3})。
   避免方法：养成“先约分后计算”的习惯，或最后检查分子分母是否有公因数。

分数除法应用实例

分数除法在实际生活中广泛应用,如分配物资、计算比例等，将 (\frac{3}{4}) 千克糖平均分成 6 份，每份质量为 (\frac{3}{4} \div 6 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}) 千克，通过实际问题练习，可加深对分数除法的理解。

分数除以分数的计算关键在于掌握“倒数转化法”，并通过约分简化结果，通过明确步骤、注意符号、避免常见错误，可高效解决此类问题，熟练后，分数除法将成为数学工具箱中的基础技能，为后续学习奠定坚实基础。

相关问答FAQs

Q1：为什么分数除以分数要转化为乘法？
A1：分数除法转化为乘法是基于数学运算的一致性，除法的定义是“求一个数是另一个数的几倍”，而乘法的逆运算性质使得“除以一个数等于乘以它的倒数”，这一转化不仅统一了运算规则，还简化了计算过程，尤其是分数运算中，避免了复杂的通分步骤。(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}) 的形式更易通过约分简化结果。

Q2：分数除法中，如果除数是带分数，如何处理？
A2：若除数是带分数（如 (2\frac{1}{3})），需先将其化为假分数，再按“倒数转化法”计算。(\frac{5}{6} \div 2\frac{1}{3}) 的步骤为：

1. 将带分数 (2\frac{1}{3}) 化为假分数：(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3})。
2. 转化为乘法：(\frac{5}{6} \div \frac{7}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{7})。
3. 约分并计算：(\frac{5 \times 3}{6 \times 7} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14})。
   注意：带分数需统一化为假分数后再进行运算，避免直接颠倒带分数导致错误。